Question

一道高数题，求微分方程通解 dρ/dθ+3ρ=2

Answer 1

先求解齐次方程dρ/dθ+3ρ=0，分离变量dρ/ρ=-3dθ，两边积分lnρ=-3θ+lnC，得ρ=Ce^(-3θ)。
设ρ=ue^(-3θ)是原非齐次方程的解，将dρ/dθ=du/dθ×e^(-3θ)
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3ue^(-3θ)代入dρ/dθ+3ρ=2得du/dθ×e^(-3θ)=2，所以du/dθ=2e^(3θ)，u=2/3*e^(3θ)＋C。
所以原方程的通解是ρ=[2/3*e^(3θ)＋C]e^(-3θ)=2/3+Ce^(-3θ)

Answer 2

这是一阶线性微分方程，有通解公式
ρ=e^(-3θ)(C+∫2e^(3θ)dθ)=2/3+Ce^(-3θ)
如果不知道公式，可以分离变量得：dρ/(2-3ρ)=dθ,或：3dρ/(3ρ-2)=-3dθ
两边积分得：ln(3ρ-2)=-3θ+ln3C，即：3ρ-2=3Ce^(-3θ)，ρ=2/3+Ce^(-3θ)