Question

最后2步这个公式怎么推？

Answer 1

证明：（1）令GL＝x
GH＝y
LH＝z
AG=CH=LE=a
BG=HD=LF=b
根据相交弦定理：AG•（GH＋HD）＝BG•（GL＋LE）得：a(y+b)=b(x+a)
即：ay=bx
利用L、H为交点的相交弦，同上的理由可得：ax=bz
az=by
把ay=bx
ax=bz
az=by两两组合，消去a、b得：x＊2=yz
y＊2=xz
z＊2=xy
即：x＊2+y＊2+z＊2-xy-yz-xz=0
即：（x-y)＊2+(y-z)＊2+(z-x)＊2=0
故：x=y=z
即：△GHL为正△
（2)过D点作DG‖BF，交BC于G；作DH‖CE，交BC于H。又M、N分别为AB、AC的中点，所以MN‖BC，即四边形BGDM、CHDN均为平行四边形。有：BM＝MN＝DG＝DH=GH＝1/2BC
所以：BD/BE=BH/BC=DH/CE
CD/CF=CG/BC=DG/BF
故：DH/CE+DG/BF=BH/BC+CG/BC=(BG+GH+CG)/BC=(BC+GH)/BC=3/2
故：DH/CE+DG/BF＝1/2BC(1/CE+1/BF)=3/2
故：1/2BC×6=3/2
BC=1/2
即正△ABC的边长