Question

已知椭圆中心在原点,它在X轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,并且这个焦点到椭圆上的点的最短

Answer 1

解：椭圆的中心在原点，焦点在x轴上
设标准方程
x^2/a^2+y^2/b^2=1
一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直
设
c
则a=（2^1/2）c
b=
（a^2
-
c^2）^1/2=c
a-c=（10^1/2)-(5^1/2）
c=5^1/2=b
a=10^1/2
所以方程为
（x^2）/10+（y^2）/5=1

Answer 2

∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，∴可设椭圆方程为x^2/a^2＋y^2/b^2＝1。
令椭圆与y轴的交点为A、B，椭圆的右焦点为F。
显然有：｜AF｜＝｜BF｜，而AF⊥BF，∴∠FAO＝45°，又AO⊥FO，∴｜AO｜＝｜FO｜，
∴b＝c，∴b^2＝c^2＝a^2－b^2，∴a^2＝2b^2，∴a＝√2b。
依题意，有：a－4（√2－1）＝c，∴√2b－4（√2－1）＝b，∴（√2－1）b＝4（√2－1），
∴b＝4，∴a＝4√2，∴a^2＝32、b^2＝16。
∴满足条件的椭圆方程是：x^2/32＋y^2/16＝1。