Question

已知抛物线的对称轴是x轴,顶点在原点,抛物线上的点(3,m)到焦点的距离等于4，求抛物线的方程

Answer 1

这道题目主要考察我们对抛物线图像的理解，好了闲话不多说，开始解题了（顺便说一下，你题目中打错了一个字。。不是定点，是顶点。。。。）
首先写出一个抛物线的公式y=2px^2,（这个是公式，就不用多说了吧）
然后我们知道了准线和焦点分别为x=-1/2p以及(0,1/2p)。
然后因为（a,4）到焦点的距离和他到准线的距离是相等的，说明（a,4）到准线的距离也是5，于是乎下面的问题就简单了，（a,4）的纵坐标为4，所以说准线到x轴的距离是5-4=1（这步很关键）。所以说1/2p=1
所以解得p=2
所以抛物线的方程为y=4x^2
然后代入（a,4）就可以得到方程4=4a^2所以a=1。
相信我的解释还是比较详细，你应该可以看懂，如果还不懂的话加我的q：510685263。希望被采纳，谢谢！
回答人的补充
2010-02-24
19:34
不好意思，我抛物线的公式写错了。。。。太久没弄关于圆锥曲线的问题了。。。
就把第一步的y=2px^2改成2py=x^2
但是思路还是一样，算出来p是2，a=4，方程为4y=x^2

Answer 2

（1）点（3，m）在
y
轴右侧，因此设抛物线方程为
y^2=2px
，
其焦点（p/2，0），准线
x=
-p/2
，
根据抛物线定义，点（3，m）到准线距离等于
4
，即
3+p/2=4
，
解得
p=2
，所以抛物线方程为
y^2=4x
。
（2）设
AB
方程为
y=2x+b
，
则
2y=4x+2b=y^2+2b
，
化简得
y^2-2y+2b=0
，
设
A（x1，y1），B（x2，y2），
那么
y1+y2=
2
，y1*y2=2b
，
由
|AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=5/4*(y2-y1)^2=5/4*[(y1+y2)^2-4y1y2]=5/4*(4-8b)=45
得
b=
-4
，
因此直线
AB
方程为
y=2x-4
，
原点到直线
AB
的距离为
h=|0-4|/√5=4√5/5
，
所以
SAOB=1/2*|AB|h=1/2*3√5*4√5/5=6
。