Question

设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式

Answer 1

为了避免混淆，我把下角标写在
<>
里
a＝2a＋n
a
=
2a
+
n+1
两式相减
a
-
a
=
2(a
-
a)
+
1
a
-
a
+
1
=
2*(a
-
a
+
1)
设
b
=
a
-
a
+
1，则
b
=
2*b
b<1>
=
a<1>
-
a<0>
+
1
=
2
-
1
+
1
=
2
容易求出
a<2>
=
2a<0>
+
1
=
3
b<2>
=
a<2>
-
a<1>
+
1
=
3
-2
+
1
=
2
b<3>
=
2b<1>
=
4
b<4>
=
2b<2>
=
4
b<5>
=
2b<3>
=
8
b<6>
=
2b<4>
=
8
2
2
4
4
8
8
16
16
……
这个数列的通项为
b<2k-1>
=
2^k
b<2k>
=
2^k
k
=
1,
2,
3
b
=
a
-
a
+
1
b<2k-1>
=
a<2k-1>
-
a<2k-2>
+
1
=
2^k
b<2k>
=
a<2k>
-
a<2k-1>
+
1
=
2^k
a<2k-1>
-
a<2k-2>
=
2^k
-1
a<2k>
-
a<2k-1>
=
2^k
-1
k
=
1,
2,
3……
因此
a1
-
a0
=
2^1
-
1
a2
-
a1
=
2^1
-
1
a3
-
a2
=
2^2
-
1
a4
-
a3
=
2^2
-
1
a5
-
a4
=
2^3
-
1
a6
-
a5
=
2^3
-
1
……
a<2k-3>
-
a<2k-4>
=
2^(k-1)
-1
a<2k-2>
-
a<2k-3>
=
2^(k-1)
-1
a<2k-1>
-
a<2k-2>
=
2^k
-1
a<2k>
-
a<2k-1>
=
2^k
-1
把以上所有式子相加，左端可消去
a<1>到
a<2k-1>，得到
：
a<2k>
-
a<0>
=
2*[2^1
+
2^2
+
……
+
2^k
-
k*1]
=
2*[2*(2^k
-1)
-
k]
=
2^(k+2)
-
2k
-4
a<2k>
=
2^(k+2)
-
2k
-3
因为
a<2k>
-
a<2k-1>
=
2^k
-1
a<2k-1>
=
a<2k>
-
(2^k
-1)
=
2^(k+2)
-
2k
-3
-
2^k
+
1
=
3*2^k
-2k
-2
综上所述：
a0
=
1
a<2k-1>
=
3*2^k
-2k
-2
a<2k>
=
4*2^k
-
2k
-3
k
=
1,
2
,
3……
用
k+1
替换
a<2k-1>表达式中的k，上述通项公式可等效替换为
a<2k>
=
4*2^k
-
2k
-3
a<2k+1>
=
6*2^k
-2k
-4
k
=
0,
1,
2
,
3……
====================================
附录
对结果进行检验：
1）实际值
a0
=
1
a1
=
2
a2
=
2a0
+
1
=
2*1
+
1
=
3
a3
=
2a1
+
2
=
2*2
+
2