Question

求内接于半径为R的半圆而周长最大的矩形的各边边长。

Answer 1

可以证明，内接于半圆的矩形一定有一条边重合于半圆的直径。证明并不困难，但此处没有图形的配合，证明从略。
设矩形重合于直径的边长为a，垂直于直径的边长为b。显然有
(a/2)^2+b^2=r^2
则
a=2[√(r^2-b^2)]
矩形的周长变量为y，则y=2a+2b=4[√(r^2-b^2)]+2b
y'=(-4b)/[√(r^2-b^2)]+2
令
y'=0,即(-4b)/[√(r^2-b^2)]+2=0
解得b=(√5)r/5
又因为y''=(-4*r^2)/[(r^2-b^2)^1.5]<0
故y=4[√(r^2-b^2)]+2b在b=(√5)r/5时取得最大值。
再求得a=2[√(r^2-b^2)]=4(√5)r/5

Answer 2

错了.设距形一边是x,另一边是y;(x,y>0).由
勾股定理
得:x^2+y^2=
4R
^2;求周长2(x+y)最大值,即取(x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy=4R^2+2xy最大,即取xy最大.也就是要求出圆内接距形最大面积.我们很容易知道圆内接正方形面积最大.(自己证明一下吧.)