Question

设x≧1,y≧1,证明x+y+1/xy≦1/x+1/y+xy

Answer 1

根据题意，首先对原不等式进行变形有x+y+1xy≤1x+1y+xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+（xy）
2
；再用做差法，让右式-左式，通过变形、整理化简可得右式-左式=（xy-1）（x-1）（y-1），又由题意中x≥1，y≥1，判断可得右式-左式≥0，从而不等式得到证明．
证明：由于x≥1，y≥1；则x+y+1xy≤1x+1y+xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+（xy）
2
；
用作差法，右式-左式=（x+y+（xy）
2
）-（xy（x+y）+1）
=（（xy）
2
-1）-（xy（x+y）-（x+y））
=（xy+1）（xy-1）-（x+y）（xy-1）
=（xy-1）（xy-x-y+1）
=（xy-1）（x-1）（y-1）；
又由x≥1，y≥1，则xy≥1；即右式-左式≥0