Question

若f(x+1)=1/2f（x）,则函数f(x)可以是f(X)=多少？要过程的

Answer 1

由于该函数收敛，因此以上方程可看作一个差分方程：
由：f(x+1)=1/2*f(x);
令x=n;
令Z(n)为函数f(n)的Z变换
同时该函数收敛于正无穷大，因此z的范围为：|z|>1;该序列为右边序列
令f(0)=A0;
以上差分方程的z变换为：z*(Z(n)-A0)=1/2*Z(n);
化简得到：Z(n)/z=A0/(z-1/2);
Z(n)/z的留数：res(1/2)=A0;
对方程右边进行z逆变换得到：
f(n)=Z(n)^(-1)=A0*(1/2)^n;
即函数f(x)=A0*(1/2)^x;
A0为x=0的值，该值任意