Question

直线与椭圆交于2点的知识中点如何求得斜率

Answer 1

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1
直线AB与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，且AB中点M(m,n)
则由x1+x2=2m，y1+y2=2n
∵A、B在椭圆上
∴x1²/a²+y1²/b²=1
x1²/a²+y1²/b²=1两式相减得
b²(x1+x2)(x1-x2)+a²(y1+y2)(y1-y2)=0
即k=(y1-y2)/(x1-x2)=b²(x1+x2)/[-a²(y1+y2)]=-(b²2m)/(a²2n)=-b²m/a²n
∴AB方程为y-2n=k(x-2m)，化简后就能得到答案。
双曲线、抛物线的解法一样，你可以自己试一下
其实，用普通的方法也是可以做的，设直线为y=kx+b，联立直线方程与圆锥曲线方程，化简，根据韦达定理得出x1,x2关系，算出(x1+x2)/2和(y1+y2)/2，再列等式(x1+x2)/2=m，(y1+y2)/2=n，求出k、b。这样子也是可以得到答案的。