Question

已知函数f(x)=x-1-alnx,求证，f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1

Answer 1

对f(x)求导，可得f‘(x)=1-a/x
可知，当x=a时可取最小值（可有f’(x)的取值变化得知）。
所以f(a)最小值为a-1-alna，只要最小值≥0恒成立，那么f(x)≥0恒成立。
再由f(a)对a求导，则有f‘(a)=-lna，所以a=1时又可取最小值，f(a)最小值为0.
所以，可知f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1.

Answer 2

f(1)=1-a≥0→a≤1
f'(x)=2x-a-a/x=(2x²-ax-a)/x
当a≤0时，f'(x)≥0
f'(x)≥0
f(x)单调递增
f(1)=1-a>0
f(x)≥f(1)>0
0
0
∴驻点为极小值点
∵x₀=[a+√(a²+8a)]/2≤1
∴区间x∈[1,
∞)在极小值点的右侧，f(x)单调递增，f(x)≥f(1)≥0
∴a的取值范围:a∈(-∞,1]