Question

当x>0时,证明ln(1+1/x)<1/√x(x+1)求过程

Answer 1

先看右边：
两相除，再同时去以e为底指数，之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1
所以ln(1+x)
0时
对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数，
[1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2]
[ln(1+x)]'=[1/(1+x)]
两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1
所以，在x>0时，x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x)，而在x=0出两者相等。
所以
x/(1+x)
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Answer 2

解：令t=1/x,则t>0,故既要证明
ln(1+t)<
t/√(1+t)
故令f(t)=ln(1+t)-t/√(1+t),t>0
则f
'(t)=1/(1+t)-1/√(1+t)+t/(1+t)^3/2
=[2√(1+t)
-2-t]/2(1+t)^3/2
令g(t)=2√(1+t)
-2-t
,t>0
g
'(t)=1/√(1+t)
-1<0,(因为t>0)
即g(t)在t>0上递减，因此g(t)
0上递减，
因此f(t)
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