Question

线性代数 向量组的秩。证明题

Answer 1

证:
由已知,
α1，α2，α3，α4线性相关
所以存在一组不全为0的数k1,k2,k3,k4，
使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0.
(下证k1,k2,k3,k4全不为0)
假设k1=0.
则
k2α2+k3α3+k4α4=0
由已知
α1,α2,α3,α4其中任意三个向量都线性无关
所以
α2,α3,α4
线性无关.
所以
k2=k3=k4=0
这与k1,k2,k3,k4不全为0矛盾.
故
k1不等于0.
同理可证
k2,k3,k4不等于0
故k1,k2,k3,k4全不为0.

Answer 2

R(I)=3，所以a1,a2,a3.
R(II)=3,所以a1,a2,a3,a4线性无关。
根据定理，a4可以由a1,a2,a3线性表示，且表示式唯一。
设a4=k1a1+k2a2+k3a3.
R(a1,a2,a3,a5-a4)=R(a1,a2,a3,a5-a4+(k1a1+k2a2+k3a3))=R(a1,a2,a3,a5)=4.