求一个不定积分 ∫1/(1+x^2+x^4)dx

 我来答
舒幻丝刚禄
游戏玩家

2019-07-14 · 游戏我都懂点儿,问我就对了
知道大有可为答主
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这是个技巧比较高的积分,不是楼上答得那么简单的

x²/(1+x⁴)
dx
=(1/2)∫
(x²-1+x²+1)/(1+x⁴)
dx
=(1/2)∫
(x²-1)/(1+x⁴)
dx
+
(1/2)∫
(x²+1)/(1+x⁴)
dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫
(1-1/x²)/(x²+1/x²)
dx
+
(1/2)∫
(1+1/x²)/(x²+1/x²)
dx
分子放到微分之后,然后分母凑个2出来
=(1/2)∫
1/(x²+1/x²+2-2)
d(x+1/x)
+
(1/2)∫
1/(x²+1/x²-2+2)
d(x-1/x)
=(1/2)∫
1/[(x+1/x)²-2]
d(x+1/x)
+
(1/2)∫
1/[(x-1/x)²+2]
d(x-1/x)
=(√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)|
+
(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
+
c
=(√2/8)ln|(x²+1-√2x)/(x²+1+√2x)|
+
(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2]
+
c
【数学之美】团队为您解答,若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。
太史苑杰寇意
2019-01-17 · TA获得超过3万个赞
知道大有可为答主
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本题可不用复数来解,不过技巧比较高,非常规题。
∫1/(1+x^2+x^4)dx
=(1/2)∫(1-x²+1+x²)/(1+x^2+x^4)dx
=(1/2)∫(1-x²)/(1+x^2+x^4)dx+(1/2)∫(1+x²)/(1+x^2+x^4)dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫(1/x²-1)/(1/x²+1+x²)dx+(1/2)∫(1/x²+1)/(1/x²+1+x²)dx
将分子放到微分之后
=-(1/2)∫1/(1/x²+1+x²)d(x+1/x)+(1/2)∫1/(1/x²+1+x²)d(x-1/x)
分母配方
=-(1/2)∫
1/[(x+1/x)²-1]d(x+1/x)+(1/2)∫1/[(x-1/x)²+3]d(x-1/x)
两项均可套公式直接积出了
=-(1/4)ln|(x+1/x-1)/(x+1/x+1)|+(1/(2√3))arctan[(x-1/x)/√3]+C
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