Question

对角线互相平分且相等的四边形是矩形对吗

下列对矩形的判定：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形．正确的个数有（　　）

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

Answer 1

【对角线相等且互相平分的四边形是矩形】

设在四边形ABCD中，对角线AC=BD，且AC和BD互相平分，求证：四边形ABCD是矩形。

证明：

∵AC和BD互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是矩形），

∴AB=DC（平行四边形对边相等），

又∵AC=BD，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB（SSS），

∴∠ABC=∠DCB，

∵AB//DC（平行四边形对边平行），

∴∠ABC+∠DCB=180°（两直线平行，同旁内角互补），

∴2∠ABC=180°（等量代换），

∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形（矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

Answer 2

∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴（1）不正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴（2）正确；
（8）不正确；
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（3）不正确；
∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴（4）正确；
∵四边形的内角和等于360°，
∴四个角都相等的四边是矩形，
∴（5）正确；
（6）不正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，
∴（7）正确；
正确的个数有4个．
故选：B．