Question

大一微积分 中值定理 请详解 第一题解题思路

Answer 1

2,
g(x)=xf(x)
g(0)=g(1)=0,在[0,1]满足罗尔定理条件。所以存在ξ∈(0,1)使得
g′(ξ)=0,而g′(x)=f(x)+xf′(x),所以
f′(ξ)=-f(ξ)/ξ
3
f(x)在[0,3]连续，所以在[0,2]连续，故有最大值与最小值，分别设为M,N
则
N
≤
f(x)≤M
N
≤
f(0)≤M
N
≤
f(1)≤M
N
≤
f(2)≤M
N≤[f(1)+f(2)+
f(3)]/3≤M
N≤1≤M
有连续函数的介值定理，知道存在η∈[0,2]
使得f(η)=1
因
f(η)=1=f(3)
所以
f(x)在[η,3]满足罗尔定理条件，所以存在ξ∈(η,3)，从而ξ∈(1,3)，
使得f′(ξ)=0.