Question

(只需简要思路）函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=-a/2,3a>2c>2b

求证： (1)a>0且-3<b/a<-3/4 (2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点 (3)设x1,x2是函数f(x)的两个零点，则√2<=|x1,x2|< (√57)/4

Answer 1

这个题要求对二次函数的图像有一定认识。
1.
f(1)=a+b+c=-a/2
把这个式子整理一下，得到3a+2b+2c=0，题设说
3a，2c,2b这三个数有关系3a>2c>2b，它们相加为0，一定有3a>0,2b<0
即a>0,b<0
2.
f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+(a-c)=a-c,注意到3a>2c，即c<3a/2,且a>0，接下来要分类讨论了：
0<a<c<3a/2时
这时f(0)=c>0,f(2)=a-c<0，在(0,2)间必有零点；
c<0时
这时f(0)=c<0,f(2)=a-c>0，在(0,2)间必有零点；
0<c<a时
我们来看函数的对称轴x=-b/2a，由于b=-(3a+2c)/2,c的范围为（0,a)
联立可得-b/2a的范围为(5/4,3/2),是在（0,2)区间内，方程判别式
b^2-4ac=(3a+2c)^4-4ac=(9a^2-4ac+4c^2)/4,这个式子配方后是两个完全平方的和，所以原方程判别式不大于等于0，即原方程一定与x轴有交点，又f(0)>0,f(2)>0,可知这个交点一定在(0,2)间
c=0或c=2时，这个可以单独提出来算一下，可以得到确定的结果，是满足题设的。
3.
由韦达定理x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
可以得到|x1-x2|=[√(b^2-4ac)]/|a|，用等式3a+2b+2c=0把b用a,c代替，再用c<3a/2把式子中的c用a代换，即可求解