Question

已知数列{an}中，a1=3/5,an=2-1/(a(n-1))(n≥2，n∈N*)，数列{bn}

满足bn= 1/(an-1) (n∈N*)． （1）求证：数列{bn}是等差数列； 我想问b-b(n-1)= 1/(an-1) - 1/((an-1)-1) 吗 回答给力的话加悬赏

Answer 1

约定:[
]内是下标
原题是:已知数列{a[n]}中，a[1]=3/5,a[n]=2-(1/a[n-1])(n≥2,n∈N*)，数列{b[n]}满足b[n]=
1/(a[n]-1)
(n∈N*),(1)求证:数列{b[n]}是等差数列.
我想问b[n]-b[n-1])=
1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)
吗?
结论:n≥2,n∈N*时,b[n]-b[n-])=1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1).
理由:n≥2,n∈N*时,题目设b[n]=
1/(a[n]-1)
所以有b[n]-b[n-])=1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1).
n≥2,n∈N*时,
a[n]-1=1-(1/a[n-1])=(a[n-1]-1)/a[n-1]
即a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]
1/(a[n]-1)=((a[n-1]-1)+1)/(a[n-1]-1)=1+(1/(a[n-1]-1))
b[n]=1+b[n-1]
即b[n]-b[n-1]=1
且b[1]=-5/2
{b[n]}是首项b[1]=-5/2,公差d=1的等差数列
另可求得
b[n]=n-7/2,a[n]=(2n-5)/(2n-7)。
希望能帮到你！