Question

微分方程初始条件

微分方程中初始条件y(-2)=1的意思是x=-2时y=1，但是方程中没有x怎么办？该如何理解呢？ 比如2y''=3y^2 且y(-2)=1，y‘(-2)=1，式子中没有x

Answer 1

2y''=3y^2
设y'=p
y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
所以2pdp/dy=3y^2
即p^2=y^3+C
在这里，只要将y=1，p=1代入即可，不必管x
即C=0
即y'=±y^(3/2)
同时注意到y'与y同号，便得到y'=y^(3/2)
dy/y^(3/2)=dx
-2y^(-1/2)=x+C'
这时再代入x=-2,y=1，得到
C'=0
因此通解为x-2y^(-1/2)=0