Question

简谐振动方程

Answer 1

简谐振动
简谐运动既是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且力总是指向平衡位置。
中文名
简谐振动
别称
简谐运动
表达式
x=Ae^(-nt)sin(wt+θ）
应用学科
力学
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基本介绍
如果用F表示物体受到的回复力，用x表示小球对于平衡位置的位移，根据胡克定律，F和x成正比，它们之间的关系可用下式来表示：

F = - k x

式中的k是回复力与位移成正比的比例系数，不能与弹簧的劲度系数混淆；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

根据牛顿第二定律，F=ma，当物体质量一定时，运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比，并且跟合力的方向相同。简谐运动系统的机械能守恒。

周期频率
一般简谐运动周期：T=2π√(m/k). 其中m为振子质量,k为振动系统的回复力系数。

对于单摆运动，其周期T=2π√(L/g) （π为圆周率 √为根号 ） 由此可推出g=(4π^2×L)/(T^2) 据此可利用实验求某地的重力加速度。

T与振幅(a<10度）和摆球质量无关。
当偏角a<10度时 sina≈a=弧（轨迹）/L（半径）≈x/L；F回=-mg/Lx
根据牛顿第二定律,F=ma,运动物体的加速度总跟物体所受的合力的大小成正比，并且跟合力的方向相同。
振幅、周期和频率
简谐运动的频率（或周期）跟振幅没有关系。
物体的振动频率本身的性质决定，所以又叫固有频率。
运动方程
一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率，ω=√(k/m)；φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），叫做简谐运动的初相位。在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ），简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ），简谐运动的加速度a=-（ω^2)Rcos（ωt+φ），这三个式子叫做简谐运动的方程。
这个运动是假设在没有能量损失引至阻力的情况而发生。
做简谐运动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置。
微分方程解法
方程：(d x)*(d x)/(d t*t)+kx/m=0
通解：x(t)=c1*cos(kt)+c2*sin(kt)
特解：x(t)=x0*cos(kt)+v0/k*sin(kt)
令：x0=Asinθ结论：Asin(kt+θ)
振幅为A,初相为θ,周期为T=2π/k,角频率为k。
其中k为系统的固有频率。
当物体到最低点时,v=f（x）取极值，速率取最大值，此时a=f'（x）=0。
当物体到最高点时,v=f（x）=0，速率取最大值，此时a=f'（x）在不同方向上最大