Question

p,、、。、。'1丨一

已知点A(-1,2),B(2,根号7),x轴上有一点P.
（1）求丨PB丨+丨PA丨的最小值.（2）求丨PB丨-丨PA丨的最大值.希望能把过程和答案都写上,给分!

Answer 1

1、以x轴为对称轴,作A点的对称点A',则A'的坐标为(-1,-2),则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|.若要使|PB|+|PA|有最小值,只要A'、P、B三点形成一直线段即可.
此时,|PB|+|PA|最小值是：
|A'B|
=|(2,√7)-(-1,-2)|
=|(3,√7+2)|
=√(9+7+4+4√7)
=√(20+4√7)
=2√(5+√7)
下面还可以进一步计算出P点的位置（当然,题目并没要求计算P点位置,所以下面的过程纯粹是解的好玩）.
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设A'B所在直线方程为：
y=kx+b
代入A'、B点坐标可得：
y=(2+√7)/3 x + (√7 -4)/3
此直线与x轴交点以下方程的
(2+√7)/3 x + (√7 -4)/3 =0
解得：
x=2√7-5
所以P点坐标为(2√7-5,0)时,|PB|+|PA|有最小值.
有点变态,B点坐标为什么要搞个√7呢,难算死了.
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2、至于|PB|-|PA|何时有最大值,只要使得P、A、B三点成一直线即可确定.
此时|PB|-|PA|最大值为：
|AB|
=|(2,√7)-(-1,2)|
=|(3,√7-2)|
=√(9+7+4-4√7)
=√(20-4√7)
=2√(5-√7)