Question

（12分）已知 是函数 的一个极值点。（1）求 ； （2）求函数 的单调区间...

（12分）已知 是函数 的一个极值点。 （1）求 ； （2）求函数 的单调区间； （3）若直线 与函数 的图象有3个交点，求 的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）
.（Ⅱ）
的单调增区间是
,
的单调减区间是
.（Ⅲ）
的取值范围为
。
本试题主要是考察了导数在研究函数的中
运用，利用函数的极值点可知导数为零得到参数的取值，然后求解析式，并利用导数来判定函数的单调性以及研究常函数与函数的交点的问题的综合运用。
（1）利用函数在
是函数
的一个极值点，说明了该点的导数值为零，得到参数的值。
（2）利用第一问的结论求解导数，判定单调区间。
（3）要研究常函数与已知函数的交点问题，关键是弄清楚，函数y=f(x)与坐标轴的位置关系即可。
解：（Ⅰ）因为
,所以
,因此
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
,
当
时，
,当
时，
,所以
的单调增区间是
,
的单调减区间是
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
内单调增加，在
内单调减少，在
上单调增加，且当
或
时，
,所以
的极大值为
，极小值为
,
因此
,
,
所以在
的三个单调区间
直线
有
的图象各有一个交点，当且仅当
,因此，
的取值范围为
。