Question

极坐标方程 推导圆锥曲线的极坐标方程 ρ=eP/(1-ecosθ) (其中e为离...

极坐标方程 推导圆锥曲线的极坐标方程 ρ=eP/(1-ecosθ) (其中e为离心率,P为焦点到相应准线的距离)

Answer 1

圆锥曲线统一极坐标方程是怎么推导来的
目前教科书中只有三种圆锥曲线的统一极坐标定义,它的局限性就是不包含圆.这种不包含圆的三种圆锥曲线是没有真正的统一性.这实际上是一个定义三角形的性质：
动点C到坐标原点A的距离CA与动点C到准线的距离CD的比e是常数的动点C的轨迹叫做圆锥曲线.这实际上规定了一个两边夹角的三角形的性质,我们称它定义三角形△CAD.
定义三角形△CAD由两个常数e、p和一个变数极角θ
构成,这里假定极轴在x轴上.
定义三角形的三角：极角θ=∠ACD,β=∠CDA,∠CAD
=π-（θ+β）
线段CA是动点C到原点A的距离CA=
AC,该线段叫极径R=AC
线段CD是动点C到准线的距离且与极轴x平行,该线段CD=
=
p+
线段AD是原点A到准线上的垂足D的距离AD,该线段
P=ADcosβ
令：L0
=
e*P
故P
=L0/e
定义：e
=
CA
/
CD
=
R/（p+
Rcosθ）=
R/（p+x）
或者,1
=
CA/eCD
=R/(ep+ex)
=R/(L0+eRcosθ)
或者,R
=L0+ex=
L0+eRcosθ
或者,L0=
R-eRcosQ
=
R(1-ecosθ)
故,R
=
L0/
(1-ecosθ)
注意：最小曲率半径L0,是顶点的曲率圆半径,又称通径、焦参数、半正焦弦,是尖点到顶点的距离.
L0
=P*e
=a(1-e)(1+e)
=a(1-e2)=b2/a
圆锥曲线的统一极坐标方程：
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