Question

对任意的实数a,b满足f(ab)=af(b)+bf(a)

已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的实数a,b满足f(ab)=af(b)+bf(a).
①判断函数f(x)在R上是否是单调函数，为什么？
判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.

要具体过程~
谢谢~~

Answer 1

因为f(x)对任意的实数a,b满足f(ab)=af(b)+bf(a):
故令a=b=0得,f(0)=0;
令a=b=1,得f(1)=0;
令a=b=-1得f(-1)=0;
f(-a)=[a*(-1)]=af(-1)-f(a);
所以：-f(a)=f(-a)；
即f(x)是定义在R上的奇函数。
由于 -1<1,而f(-1)=f(1)，根据函数单调性的定义，f(x)在R上无单调性可言，即在R上没有单调性。

（提示：对于抽象函数，应该灵活应用已知条件进行拆并求解，同时不要受定势思维的约束，如果该题先从第一问入手，也许你会感到束手无策，换个角度也许你会豁然开朗。本题也许是出题人的用意）

Answer 2

1.令a=b=0得,f(0)=0;
令a=b=1,得f(1)=0;
令a=b=-1得f(-1)=0;
f(-a)=[a*(-1)]=af(-1)-f(a);
所以：-f(a)=f(-a)；
即f(x)是定义在R上的奇函数
2.-1<1,而f(-1)=f(1)，根据函数单调性的定义，f(x)在R上无单调性可言，即在R上没有单调性。