Question

一个高等代数行列式求解

一个高等代数行列式求解如图所示，这个行列式该如何求解，求大佬解答，有点急，在线等。。。多谢各位数学大佬，希望详细一点。。

Answer 1

按第一列展开，第二个行列式再按第一行展开有，有d_n=(a+b_d_{n-1}-...=(a+b)d_{n-1}-abd_{n-2}，当a和b不等时，得d_n-ad_{n-1}=b(d_{n-1}-ad_{n-2})和d_n-bd_{n-1}=a(d_{n-1}-bd_{n-1})，也就是说d_n-ad_{n-1}，d_n-bd_{n-1}是公比为b
a的等比数列，由于d1=a+b，d2=a^2+ab+b^2，可得d_n-ad_{n-1}=b^n，d_n-bd_{n-1}=a^n，两个方程联立求出dn=(b^{n+1}-a^{n+1})/(b-a)。当a=b时，d_n-ad_{n-1}=a(d_{n-1}-ad_{n-2})=a^n，由d1=2a，d2=3a^2递推下去得d_n=(n+1)a^n。

Answer 2

将第1行乘-1加到下面各行上，再将第2列乘1/2加到第1列上，将第3列乘1/3加到第1列上，....，将第n列乘1/n加到第1列上，就化成了上三角行列式。答案是n!(1+1/2+1/3+...+1/n)。