Question

关于线性代数的两个问题

问题1. A,B为4阶方阵AB+2B=0，矩阵B的秩为2，且|E+A|=|2E-A|=0，求A的特征值。 答案是由|E+A|=|2E-A|=0可得-1，2为特征值，由（A+2）B=0可得特征值为-2，又因为B的秩为2，所以特征值-2有两个线性无关特征向量。 我想问下，由两个矩阵乘积为零不是不能确定任一矩阵为零么？还有为什么根据B的秩为2就能确定特征值-2有两个特征向量？ 问题2， 怎么证明A的转置与A的乘积是正定矩阵 还有下边那个式子怎么解释 啊

Answer 1

的确，由两个矩阵乘积为零不能确定任一矩阵为零。不过这里你这么看，(A+2I)B=0可以看成一个方程：(A+2I)X=0，且X有非零解（由于B不为零矩阵），那么2就是特征值了。
由于B的秩是2，所以有两个线性无关的向量使得(A+2I)X=0成立，那么-2至少有两个特征向量，但是由于A是4阶方阵，且有特征值-1和2，那么-2最多只有4-2=2个特征向量，如此而已。
你那张图片:x'(A'A)x=(x'A')(Ax)=(Ax)'(Ax)=||Ax||^2