已知三角形ABC,BC=2,AB=√2AC,求三角形ABC面积的最大值.
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解 设三角形三边为2,a,√2a,三角形面积为S,根据海仑公式得:
16S^2=2(4a^2+8a^2+2a^4)-(4a^4+a^4+16),
16S^2=-a^4+24a^2-16=-(a^2-12)^2+128,
当a^2=12 a=2√3,三角形ABC的面积有最大值,最大值
16S^2=128 S^2=8 即s=2√2.
方法二
以BC为x轴,BC的中点O为坐标原点,则B（-1,0）C(1,0)
设A(x,y)
由题意得：AB方=2AC方
即（x+1)方+y方=2【（x-1)方+y方】
化简得：（x-3)方+y方=8
所以A到BC的最远距离为根号8=2根号2
所以面积最大为1/2*2*2根号2=2根号2
16S^2=2(4a^2+8a^2+2a^4)-(4a^4+a^4+16),
16S^2=-a^4+24a^2-16=-(a^2-12)^2+128,
当a^2=12 a=2√3,三角形ABC的面积有最大值,最大值
16S^2=128 S^2=8 即s=2√2.
方法二
以BC为x轴,BC的中点O为坐标原点,则B（-1,0）C(1,0)
设A(x,y)
由题意得：AB方=2AC方
即（x+1)方+y方=2【（x-1)方+y方】
化简得：（x-3)方+y方=8
所以A到BC的最远距离为根号8=2根号2
所以面积最大为1/2*2*2根号2=2根号2
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