Question

已知函数f(x)是定义域在r上的奇函数,且f(x-3)为偶函数

已知函数f（x）的定义域为R，f（0）=3，且函数f（x-1）为奇函数，f（x+3）为偶函数，则f+f=___．

Answer 1

∵f（x-1）为奇函数，
∴f（x-1）=-f（-x-1）．①
对①式 令x=1 得 f（0）=-f（-2）
∴f（-2）=-f（0）=-3．
对①式 令x=0 得 f（-1）=-f（-1）
∴f（-1）=0
∵f（x+3）为偶函数，
∴f（x+3）=f（-x+3）②
由①②可知
f（x）=f[（x+1）-1]=-f[-（x+1）-1]=-f（-x-2）
=-f[（-x-5）+3]=-f[（x+5）+3]=-f（x+8）．
∵f（x）=-f（x+8），
∴f（x+8）=-f（x+8+8）=-f（x+16），
∴f（x）=f（x+16），
∴f（x）是以16为周期的周期函数．
∴f=f（126×16-2）=f（-2）=-3，f=f（126×16-1）=f（-1）=0．
∴f+f=-3
故答案为-3．