Question

e的x次方泰勒展开式是什么?

Answer 1

e的x次方在x0=0的泰勒展开式是:

1+x+x^2/2!32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333431373937+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x)，求解过程如下：

把e^x在x=0处展开得：

f(x)=e^x

= f(0)+ f′（0)x+ f″（0)x ²/ 2!+...+ fⁿ（0)x^n/n!+Rn(x)

=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x)

其中f(0)= f′（0)=...= fⁿ（0)=e^0=1。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。

泰勒级数可以用来近似计算函数的值。