Question

(1+x)^1/x的极限为什么是e?

Answer 1

将重要极限limx→∞（1＋1/x）^x=e为推广形式limx→∞（1＋u（x）^v（x）（u（x）→的0,v（x）→∞极限。

lim x→∞,(1+x)^(1/x) 

=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))] 

=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)] 

其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)

=lim x→∞,[ln(1+x)]/x ∞/∞型，

使用洛必达法则，上下同时求导，得到 lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0 

所以e的指数部分极限是0。

原式=limx->0(e^x/x - 1/x)

=limx->0(e^x - 1)/x

=1

极限的求法：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。