Question

高中数学导数大题！！大神！！求教20题！

Answer 1

(1)f(x)=lnx/x–mx≤0
mx≥lnx/x
g(x)=lnx/x，t(x)=mx
要想t(x)≥g(x)恒成立，m必然大于0
由图像可知g(x)与t(x)相切时，m取得最小值
不妨设相切时切点为(a，ma)
lna/a=ma ①
(1–lna)/a²=m ②
由①②可解得a=∨e，m=1/(2e)
所以m≥1/(2e)
(2)f(x)=lnx/x–mx
f'(x)=(1–lnx–mx²)/x²
令h(x)=1–lnx–mx²(x>0)
h'(x)=–1/x–2mx=–(1＋2mx²)/x<0
h(x)在(0，＋∞)上单调递减
lim(x–>0) h(x)=＋∞
lim(x–>＋∞) h(x)=–∞
那么h(x)=0只有唯一解
即f'(x)=0只有唯一解x0
x∈(0，x0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增
x∈(x0，＋∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减
所以当m≥0时，f(x)只有唯一的一个极大值点