Question

关于定积分，谢谢

Answer 1

∫(0，2) xf(2x–x²)dx
=∫(0，2) xf[1–(x–1)²]dx ①
令t=x–1，则x=t+1，dx=dt
①式=∫(–1，1) (t＋1)f(1–t²)dt
=∫(–1，1) tf(1–t²)dt＋∫(–1，1) f(1–t²)dt ②
由于被积函数tf(1–t²)是关于t的奇函数，所以
∫(–1，1) tf(1–t²)dt=0
被积函数f(1–t²)是关于t的偶函数，所以
∫(–1，1) f(1–t²)dt=2∫(0，1) f(1–t²)dt
所以②式=2∫(0，1) f(1–t²)dt
=2∨3
所以∫(0，2) xf(2x–x²)dx=2∨3

Answer 2

积分值为2√3，用换元法，分部积分试试

Answer 3

2√3。其过程是，∵2x-x²=1-(1-x)²，令t=1-x，∴∫(0,2)xf(2x-x²)dx=∫(-1,1)(1-t)f(1-t²)dt=∫(-1,1)f(1-t²)dt-∫(-1,1)tf(1-t²)dt。
而，∫(-1,1)f(1-t²)dt=2∫(0,1)f(1-t²)dt、∫(-1,1)tf(1-t²)dt=0。∴∫(0,2)xf(2x-x²)dx=2∫(0,1)f(1-x²)dx=2√3。
供参考。