Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为根号5/3,椭圆过定点M(2,0),

椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2 （1）求椭圆C的方程 （2）设过点M且斜率不为零的直线交椭圆于A，B两点，试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB若存在求出点P的坐标；若不存在，说明理由

Answer 1

∵B1M⊥B2M,
∴<B1MB2=90°,
∵椭圆是轴对称图形,
∴B1、B2关于X轴对称，
∴|B1M|=|B2M|，
∴△MB1B2是等腰RT△，
O是BB1中点，
∴|BB1|=2|OM|=6，(RT△斜边的中线是斜边长的一半）
∴b=|B1B2|/2=3,
离心率e=c/a=√5/3，
c=√5a/3,
a^2-c^2=b^2,
a^2-5a^2/9=3^2=9,
∴4a^2/9=9,
a=9/2,
b=3,
∴椭圆方程为：4x^2/81+y^2/9=1.