Question

设f(x)在[0,1].上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=f(0)=0,证明:在(0,1？

设f(x)在[0,1].上连续,在(0,1)内可导,且

f(1)=f(0)=0,证明:在(0,1)内存在一点ξ，使得f'(ξ)+f(ξ)=0

Answer 1

观察要求的形式，可能要用到罗尔定理
构造函数F(x)=e^x*f(x)
显然，F(0)=F(1)=0
而又因为
f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，则
F(x)必定在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，则必定存在ξ∈(0,1)
使得 F'(ξ)=0
即：e^ξ*f(ξ)+e^ξ*f'(ξ)=0
即：f(ξ)+f'(ξ)=0