Question

前n项平方和公式怎么推导?

Answer 1

利用的立方差公式来推导a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

所以：n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1。

则：

1³=3×1²-3×1+1。

2³-1³=3×2²-3×2+1。

n³-(n-1)³=n²+n(n-1)+(n-1)²=3n²-3n+1。

上述等式相加得到：n³=3×(1²+2²+3²+……+n²)-3×(1+2+3+……+n)+n。

==> n³=3∑n²-3×[n(n+1)/2]+n。

==> 3∑n²=n³+[3n(n+1)/2]-n=(2n³+3n²+3n-2n)/2。

==> 3∑n²=[n(2n²+3n+1)]/2=n(n+1)(2n+1)/2。

所以，∑n²=n(n+1)(2n+1)/6。

相关内容解释

前n项平方和公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数也就是正方形数的级数。

平方和，数学术语，定义为2个或多个数的平方相加。通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。四角锥通常指的是一个底面为四边形的锥体。种类有长方锥、正四角锥和凹四角锥。