Question

高数题，高分求助

设f（x）在[0,1]上单调递增，f(0)＞0，f(1)＜1，试证：存在y∈(0,1),使
f(y)=y²
不要用介值定理。最好是用到确界原理
那么1L的可以说说哪2个定理是等价的吗？没看懂，具体是怎么证的？
还有3L，确界原理和函数连续性没有必然联系啊。这题到底怎么证

Answer 1

说f（x）连续，当然不对，可是楼上又有人说 f（x）不连续就不能用“确界原理”，这也不对，我就用“确界原理”来证一下

当然我直接用的是“区间套原理”，但是大家都应该知道“确界原理”和“区间套原理”是等价的，它们都是“实数的连续性”的等价表达；反过来说，这种题目不用“确界原理”就相当于不用“实数的连续性”，那样又怎么可能证明的了？（那就相当于把题目中讨论的函数的定义域变成有理数集，当然没法证明，因为那样的命题本来就是错的）

这道题的“区间套”很好构造，因为g(x)=x^2这个函数有个很好的性质：对任意a、b（0<=a<=b<=1），有b^2-a^2<=2*(b-a)，（记这个性质为“性质1”）

反证假设：对任意x，0<=x<=1

如下用二分法构造闭区间序列C(k)=[a(k)，b(k)]：

第1步：C1=[0，1]
第2步：考察1/2，若f(1/2)<(1/2)^2，则令C2=[0，1/2]
若f(1/2)>(1/2)^2，则令C2=[1/2，1]
......
第n+1步：考察闭区间Cn的中点pn=(an+bn)/2，
若f(pn)<(1/2)^2n，则令C(n+1)=[an，pn]
若f(pn)>(1/2)^2n，则令C(n+1)=[pn，bn]

此闭区间序列的显然为渐降集合列且长度趋于0，于是由“区间套原理”，区间的端点所成的两数列{an}及{bn}收敛于同一极限s，并且s是所有区间的唯一公共点

由反证假设得“f(s)不等于s^2”，以下由“f(s)不等于s^2”导出矛盾：

首先，数列{f(an)}作为有界实数点集必有上确界a（“确界原理”），又{f(an)}为单调不减数列，必有{f(an)}收敛于a，同理，{f(bn)}这一单调不增数列收敛于其作为有界实数点集的下确界b

对任意自然数i和任意自然数j，有f(a(i))<f(s)<f(b(j))，所以必有a<=f(s)<=b

又由区间序列Cn的构造过程知，f(a(i))>(a(i))^2，f(b(j))<(b(j))^2

而结合前面提到的“性质1”，得到对任意自然数k，有：
f(b(k))-f(a(k))<(b(j))^2-(a(i))^2<=2*(b(k)-a(k))=2^(k-2)

所以单调不增的非负数列{f(bn)-f(an)}趋于0，所以b-a=0，所以a=f(s)=b

由反证假设得“f(s)不等于s^2”，不妨假设“f(s)>s^2”（反之证法完全同理）

而由区间序列Cn的构造过程知：对任意自然数m，有f(b(m))<(b(m))^2

但是，由函数g(x)=x^2的连续性知：数列{(bn)^2}收敛于数列{bn}的极限的平方

既数列{(bn)^2}收敛于s^2，而每一项都比(bn)^2小的数列{f(bn)}却收敛于f(s)

这当然与f(s)>s^2矛盾！

命题得证。

Answer 2

两个定理等价，用哪个不行？

当然sure

不过话说回来，这个题没有说f连续啊。如何用介值定理？

Answer 3

构造函数F(x)=f(x)-y^2

则由于f(x)在[0,1]单调递增必连续，-x^2在[0,1]也连续，所以

F(x)在[0,1]也必连续

又F(0)=f(0)>0,F(1)=f(1)-1<0，F(0)*F(1)<0

所以在[0,1]上必存在一个数δ，使得F（δ）=0

即f(δ)=δ^2

我没听过确界原理，我的证明是根据函数取零值定理

函数取零值定理：设f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)*f(b)<0,则在(a,b)内至少有一点c，使得f（c）=0

我记错了，f（x）确实是不一定连续，以前做过一题差不多的，不过条件是f（x）连续且单调递增

Answer 4

这道题不能用确界原理,因为f(x)不一定连续.

我可以给出一个证明,仅供参考.
取集合M={x∈(0,1)|f(x)>=x^2}的上确界为x0
则考虑极限lim(x->x0+)f(x)>=f(x0) (由于单调性,右极限一定大于等于该点的函数值)
又因为lim(x->x0+)f(x)<=x0^2 (根据上面集合M的定义)
所以f(x0)<=x0^2
又因为f(x0)>=x0^2
所以f(x0)=x0^2
这样就一定存在这样的点了.

也不是很严格.不过大体过得去
我觉得作为高数题来说,应该加上条件f(x)连续,就比较正常了

Answer 5

支持一下 麟趾_RL
单调增必连续，这是谁说的？证明了一大段，结果开头就不对