Question

请问这个定积分怎么算？

Answer 1

因为∫sinxcosx/(1+sin^4x)dx
=∫sinx/(1+sin^4x)d(sinx)
=(1/2)*∫1/(1+sin^4x)d(sin^2x)
=(1/2)*arctan(sin^2x)+C，其中C是任意常数
所以∫(0,π) xsinxcosx/(1+sin^4x)dx
=∫(0,π) xd[(1/2)*arctan(sin^2x)]
=(1/2)*x*arctan(sin^2x)|(0,π)-(1/2)*∫(0,π) arctan(sin^2x)dx
=-(1/2)*∫(0,π) arctan(sin^2x)dx
=-∫(0,π/2) arctan(sin^2x)dx
因为根据麦克劳林公式，arctan(sin^2x)=∑(n=0->∞) (-1)^n/(2n+1)*(sinx)^(4n+2)
且当k是偶数时，∫(0,π/2) (sinx)^kdx=(π/2)*(k-1)!!/k!!
所以原式=-∫(0,π/2) [∑(n=0->∞) (-1)^n/(2n+1)*(sinx)^(4n+2)]dx
=-∑(n=0->∞) (-1)^n/(2n+1)*[∫(0,π/2) (sinx)^(4n+2)dx]
=-∑(n=0->∞) (-1)^n/(2n+1)*(π/2)*(4n+1)!!/(4n+2)!!
=(-π/2)*∑(n=0->∞) (-1)^n/(2n+1)*(4n+1)!!/(4n+2)!!
只能表示成这种无穷级数的形式了

Answer 2

“定积分的算法有两种:换元积分法如果 ;x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;当α≤t≤β时,a≤ψ(t)≤b,且ψ(α)=a,ψ(β)=b, 则 分部积分法设u=u(x),v=v(x)均在区间[a,b]上可导,且u′,v′∈R([a,b]),则有分部积分公式: 扩展

Answer 3

1.第一种就是凑微分,将根号前面的一个x放到微分里面,然后凑出与根号下相同的项,就能求出,这种方法技巧性比较大;
2.第二种方法是直接三角换元,这种没啥技巧就是算。

Answer 4

• 做变量代换t=π/2 -x带人得到 原来积分=-∫(π/2,0) cost /(sint+cost) dt =∫(0,π/2) cost /(sint+cost) dt 2∫(0,π/2) sinx /(sinx+cosx) dx=∫(0,π/2) cost /(sint+cost) dt + ∫(0,π/2) sinx /(sinx+cosx) dx =∫(0,π/2) (sinx+cosx)/(sinx+cosx) dx...

Answer 5

, kh的右端点,即k kh 于是 所以, 1 xdx 1 0 2 2.2 牛顿-莱布尼茨公式 牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系