Question

求微分方程dy/dx+y/x=(sinx)/x满足初始条件y|(x=π)=1的特解。

高等数学

Answer 1

解：显然，齐次方程y'+y/x=0的通解是y=c/x
(c是积分常数)
于是，根据常数变易法，设原方程的解为y=c(x)/x
(c(x)是关于x的函数)
∵y'=[c'(x)x-c(x)]/x²
代入原方程，得[c'(x)x-c(x)]/x²+c(x)/x²=sinx/x
==>c'(x)=sinx
==>c(x)=c-cosx
(c是积分常数)
∴原方程的通解是y=(c-cosx)/x
(c是积分常数)
∵y(π)=1
∴(c+1)/π=1
==>c=π-1
故原方程满足初始条件y(π)=1的特解是y=(π-1-cosx)/x。