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换一种代换：
∫[0,2π] (1/4)sin^2 2x dx = ∫[0,2π] (1/8)(1-cos4x) dx = π/4 (attn: cos4x 周期上积分为零）
∫[0,R] r^5 √(R^2-r^2) dr = ∫[0,R] -(1/2)r^4 √(R^2-r^2) d(R^2-r^2)
= -(1/2)∫[R^2, 0] [(R^2-u]^2 √u du. where u = R^2-r^2
= -(1/2)R^7[2/3 - 4/5 + 2/7]
= (8/105)R^7
合起来：原积分 = （π/4)(8/105)R^7 = （π)(2/105)R^7
∫[0,2π] (1/4)sin^2 2x dx = ∫[0,2π] (1/8)(1-cos4x) dx = π/4 (attn: cos4x 周期上积分为零）
∫[0,R] r^5 √(R^2-r^2) dr = ∫[0,R] -(1/2)r^4 √(R^2-r^2) d(R^2-r^2)
= -(1/2)∫[R^2, 0] [(R^2-u]^2 √u du. where u = R^2-r^2
= -(1/2)R^7[2/3 - 4/5 + 2/7]
= (8/105)R^7
合起来：原积分 = （π/4)(8/105)R^7 = （π)(2/105)R^7
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是的可以解决这个问题
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解答如下
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