Question

二重积分极坐标，不计算积分值比较积分大小，请问应该如何下手?

想请教一下大佬，二重积分不计算积分值，进行比较，这个要怎么根据题目所给圆方程，以(2，1)为圆心半径根号2画圆，进行比较呢？

Answer 1

积分区域一定，所以我们先考虑被积函数，分别是x+y的平方和三次方，比较他们都大小关系很容易想到比较（x+y）与1的大小关系，可以简单作图画出积分区域D，再画直线x+y=1，可见D完全处于直线的右上方，切点是（1，0），因此，在D内的任意一点P有

(xp+yp)>=1，则（xp+yp）的三次方＞其二次方，那么积分后也有二次方的积分小于三次方的积分，所以应该是填<符号

Answer 2

不用，
因为∬dσ就是圆的面积，所以，
只需要比较被积函数在这个区域的大小，
只要确定x+y的最小值与1的关系即可，因为圆心到直线x+y=1的距离为
d=|2+1-1|/√2=√2
刚好为圆半径，所以，可知x+y的值肯定都小于1,这样，才会有交集。
因为x+y≤1,所以(x+y)²≥(x+y)³
所以，前一积分比后一个大

Answer 3

考虑直线族x+y=c,显然当圆心(2,1)到直线距离为半径时c取得最小值
|2+1-c|/根号2=根号2
|3-c|=2, c=1或者5,x+y最小值为1
所以在积分区间上(x+y)^2 <= (x+y)^3恒成立,且除了切点外,所以其他点都满足(x+y)^2 < (x+y)^3
所以积分也是前者小于后者