Question

请问该题的X=3是如何得到的呢？

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Answer 1

本来这道题特简单，但是因为当时有个地方疏忽了，始终做不出来。万般无奈，跑到楼下去请教还在读高三的邻居。我特意没告诉他这是跟柯西不等式有关的习题，想看看他会不会想到别的方法。

果不其然，他还真想到了别的方法：

• 邻居的方法

直线  上的点到原点的距离的平方的最小值为

也就是原点到直线的垂线段长度的平方。

而

当且仅当  时等号成立。

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令  则有  仍然利用“距离”的思路，可求出此处  也就是  平面中原点到直线  的距离。

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所以

当且仅当  ，即  时，等号成立。

而  ，所以  ，所以只能有

综上所述，  ，当且仅当  时等号成立。

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向他表示感谢后，我给他说明了这是柯西不等式后面的练习题。我把我的做法写在纸上，继续问道，我的做法哪里不对。也许是他清晰的思路感染了我，我写着写着就发现了我的错误。正确解法如下：

• 柯西不等式

先来回顾一下柯西不等式：

设  与  是两组实数，则有



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特别地，对每组仅有两个实数，一共四个实数的情形，有简单的形式：

对任意实数  有

有了柯西不等式，这道题就可以这样解了：

由柯西不等式可知

注意等号成立的条件是相同的，所以有

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所以得到

证毕。

回到家之后，我又想，利用题目中的约束条件将问题化为一元函数求最值的问题是很方便的，那个一元函数好求吗？

• 参数方程（化为一元）

写出直线  的参数方程：

把  和  代入，得到

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（或者直接利用条件消去  ，得到  ）

求导，得到

（注意这里有  ）

由  得到  ，易判定这是唯一 一个极小值点，即最小值点，所以有

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即

证毕。

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这是  的图像。可以看到极值点。

一元的情形倒是可以做，但题目本身是二元，何不将就着算呢？于是，万能的拉格朗日乘数大法显神通了：

• 拉格朗日乘数法

构造辅助函数：

对各变元求偏导，可得：

由各偏导数等于零，即

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解方程组得到

同样可以验证这是最小值点。

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这是在空间直角坐标系中的情形。青蓝色的平面是约束条件  ,绿色的曲面是二元函数  ,黑色的曲线是两个面的交线，也就是在约束条件下二元函数能实现的范围。

Answer 2

高中方程主要是熟练掌握一元二次方程，包括是否有实数解，是否重根等。三次方程求解只涉及较浅的部分。三次方程也有韦达定理和求根公式，但是不要求掌握。对于高考中出现的三次方程求解，不要慌张，按部就班的通过试根、因式分解降次即可。
例：求解一元三次方程，x-3x+2=0
分析：一元三次方程首先进行试根，尝试+1、0、-1这三个实数是否是方程的解。经尝试，x=1是方程的一个根，因此，(x-1)是因式分解中的一个因子，接下来有多种思路分解因式：
（Ⅰ）考虑配成(x-1)，它能进一步分解出(x-1) ——需要技能【立方差公式】
x-3x+2
=(x-1)-3x+3
=(x-1)(x+x+1)-3(x-1)
=(x-1)(x+x-2)
=(x-1)(x+2)(x-1)
（Ⅱ）考虑配成(x-x)，它能进一步分解出(x-1) ——需要技能【平方差公式】
x-3x+2
=(x-x)-2x+2
=x(x-1)-2(x-1)
=x(x+1)(x-1)-2(x-1)
=(x-1)[x(x+1)-2]
=(x-1)(x+x-2)
=(x-1)(x+2)(x-1)
（Ⅲ）直接使用大除法，将多项式试除(x-1)——需要技能【多项式除法】
(x-3x+2)/(x-1)
=[x(x-1)+(x-3x+2)]/(x-1)
=[(x+x)(x-1)+(-2x+2)]/(x-1)
=(x+x-2)(x-1)
=(x-1)(x+2)(x-1)
综上，方程有3个实数根，其中2个是重根，分别为 1,1,-2
条条大路通罗马，只要掌握好基础，最起码平方差、立方差公式不能丢，考试时沉着冷静，此类题目并不难。
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