Question

怎么求多项式的展开式的常数啊 比如：求（2x^3+2x^(1/2))^10

Answer 1

这个其实不是多项式.
如果是多项式,直接代入x = 0就能求出常数项了.
这种例子要用二项式定理展开.
(2x^3+2x^(1/2))^10展开为形如C(10,k)·(2x^3)^k·(2x^(1/2))^(10-k)的项的和.
这样一项的次数为3k+1/2·(10-k) = 5+5k/2 > 0.
因此是没有常数(零次)项的.
如果改成(2x^3+2x^(-1/2))^10.
C(10,k)·(2x^3)^k·(2x^(-1/2))^(10-k)的次数为3k-1/2·(10-k) = 7k/2-5.
不巧的是7k/2-5 = 0没有整数解,所以也没有常数项.
再改成(2x^3+2x^(-1/3))^10.
C(10,k)·(2x^3)^k·(2x^(-1/3))^(10-k)的次数为3k-1/3·(10-k) = 10k/3-10/3.
10k/3-10/3 = 0有整数解k = 1,并满足0 ≤ k ≤ 10.
因此常数项就是k = 1的项C(10,1)·(2x^3)·(2x^(-1/3))^9 = 10·(2x^3)·(2^9·x^(-3)) = 10240.
不知这样有没有讲明白?