Question

高等代数理论基础38：线性空间的定义与简单性质

Answer 1

定义：设V是一个非空集合,P是一个数域,在V的元素之间定义了一种代数运算,叫加法,即给出了一个法则,对于 , 与之对应,称为 与 的和,记作 ,在P与V的元素之间还定义了一种运算,叫数量乘法,即 , , 与之对应,称为k与 的数量乘积,记作 ,若加法与数量乘法满足下列规则,则称V为数域P上的线性空间

加法满足：

1.

2.

3. ,有

具有该性质的元素0称为V的零元素

4. 使

称为 的负元素

向量 的负元素记作

利用负元素定义减法：

数量乘法满足：

1.

2.

数量乘法与加法满足：

1.

2.

例：

1.几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间

2.分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间,记作

3.一元多项式环 ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法构成一个数域P上的线性空间,若只考虑次数小于n的多项式,再添上零多项式也构成数域P上的线性空间,记作

4.数域P上的 矩阵,按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法,构成数域P上的线性空间,记作

5.数域P按照本身的加法与乘法,构成一个自身上的线性空间

线性空间的元素也称为向量

线性空间也称为向量空间

1.零元素是唯一的

证明：

2.负元素是唯一的

证明：

3.

证明：

4.

证明：