Question

怎么解函数相关的应用题？

Answer 1

应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.

【方法点评】

使用情景：函数的实际应用问题

解题步骤：

第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

【例】 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金 （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。

（1）求函数 的解析式及其定义域；

（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【解析】

（1）①当 时， .

令 ，解得

， ，

②当 时，

令 ，

有 ,

上述不等式的整数解为 ，

故 ，

定义域为

（2）

对于 ，显然当 时， （元）．

对于 ，

当 时， （元）

，

当每辆自行车的日租金定在 元时，才能使一日的净收入最多．

【总结】

（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；

（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．