Question

2020-07-20 关于拓扑学的基本概念的一点解读

Answer 1

拓扑学一开始就给出了topology的定义，之后给出了basis的定义，但我分析之后认为basis的定义并不简明，经过分析之后得到了一个更加能揭示本质的等价定义，

首先给定集合 , 集合 的所有子集的集合记为
给定 的一个子集 ，如果满足以下条件，则称之为 上的一个拓扑，
1，
2,
3, 任意个 中元素的并 属于
4, 中有限个元素的交 属于

这是官方定义， 其中第2条可以用以下说法替代:
2' , 中所有元素的并 = ,或者再环一种说法， 是 的一个覆盖；

官方给出的 基 的定义是这样：
给定 的一个子集 ，如果满足以下条件，则称之为 上的一个基，
1, 任意 ,存在 使得
2, 如果 属于 中两个元素的交集 ，则存在 使得

之后官方论证了基与其诱导的拓扑之间的关系，很显然这种定义方法并不简明，并且没有揭示基的由来;

我们现在建立一套新的方法来定义基;
首先我们建立一个映射 把 的某个子集 映射为 的某个子集，
给定 的某个子集 ,
(注意，任意个也包括0个，此时C是空集)

那么有了这个函数，我们就可以用一种新的非常简明的方式来定义基:
集合 上的基是 的一个子集 ，其满足以下条件:
是 上的一个拓扑

这种定义方法直接的揭示了基和 拓扑的关系，也就是说 的子集中任意个元素的并 所组成的集合 如果是 上的一个拓扑的话，该子集就是 上的基

下面我们先来论证该定义与官方定义的等价性:
首先证明如果 满足我们的定义，则其一定满足官方定义;
由于 是 上的拓扑，任意 显然存在存在 使 ,否则的话， 不属于 中的任意元素， 就不满足拓扑的定义2，官方第一条性质满足；

由于显然有 ，如果 属于 中两个元素的交集 ，则 也是拓扑 中的两个元素，则
根据拓扑的性质 必然也是 中的元素，这就意味着 是 中某些元素的并，那自然对于 存在 使得

由此，可见我们给出的定义是一个比官方定义更强的定义，下面我们论证两个定义等价;
如果 满足官方两个定义，则 必然是一个拓扑
首先根据官方定义第一条， 空集和 属于 是显然的

而 中任意个元素的并，按照 的定义，自然也是 中元素的并， 显然

中任意两个元素的交集， ,对于该交集中任意一点 , 根据 以及 是 中元素的并集这一事实，必然存在
使得 同理存在
使得
而根据官方第二条性质，存在 使得
而这既是说 由 中元素的并组成；也就是 属于 , 很自然可以推广到有限个元素相交的情形

证明完毕。

综上，我们得到了一个和官方定义等价的更加简明的关于 基 这个概念的定义 ，那就是：
是 上的一个基 当且仅当 中任意个成员的并 所组成的集合 是 上的一个拓扑

并且根据这个定义，基诱导出的拓扑的定义变的更加简明了，那就是 基中任意个成员的并所组成的集合 ；

另一方面，如果给定一个拓扑，该拓扑对应的基这个概念也可以简明定义，那就是:
如果 该基诱导出的拓扑 是 这个拓扑 ，这个基就是该拓扑对应的基；

另外，利用这个定义，还可以更加简明的证明 关于基的包含定理，这个在一般的拓扑学教材上并未写明；
那就是 ，给定拓扑 ,根据我们的定义很容易看出 就是 的一个基，同时我们假设 且 也是 的一个基，
则显然 任意集合 满足 都是 的一个基 ，这一点根据我们的定义是显然的，因为:
而 ,且 ,
则显然