Question

高中数学基本不等式的题目求助

已知a>0,b>-1,且a+b=1,则（a^2+3)/a+b^2/(b+1)的最小值为
麻烦高手了！

Answer 1

b=1-a,b>-1,
所以0<a<2,设
y=（a^2+3)/a+b^2/(b+1)
=(a^2+3)/a+(1-a)^2/(2-a),
两边都乘以a(2-a),得
(2a-a^2)y=(a^2+3)(2-a)+a(1-a)^2
=6-3a+2a^2-a^3
.....+a-2a^2+a^3
=6-2a,
整理得ya^2-a(2+2y)+6=0,
a,y∈R,
所以△/4=(1+y)^2-6y=y^2-4y+1≥0,
所以y≤2-√3或y≥2+√3，
当a=(1+y)/y=3+√3(舍)或3-√3时取等号。
所以y的最小值是2+√3，为所求。
解2 y=(a²+3)/a+b²/(b+1)
=a+3/a+(b-1)+1/(b+1)
=3/a+1/(b+1)
=3/a+1/(2-a)
=(6-2a)/[2a-a^2),
设u=3-a∈(1,3),则a=3-u,
y=2u/[2(3-u)-(3-u)^2]
=2u/(-3+4u-u^2)
=2/[4-(3/u+u)]
3/u+u≥2√3，当u=√3时取等号，
所以4-(3/u+u)∈(0,4-2√3],
所以y≥2/(4-2√3)=2+√3，
所以y的最小值是2+√3.

Answer 2

（a^2+3)/a = a+3/a
f = (a^2+3)/a+b^2/(b+1) = (a^2+3)/a + (1-a)^2/(2-a) = 2(3-a)/[a(2-a)]
df/da = 2{[-a(2-a)-(3-a)(2-2a)]/[a^2(2-a)^2]} = -2(a^2-6a+6)/[a^2(2-a)^2]
a>0, b>-1, 得驻点 a = 3-√3, b = √3-2
最小值 f = (a^2+3)/a+b^2/(b+1) = (9-√3)/2 + (3√3-5)/2 = 2+√3

Answer 3

分享解法如下，应用基本不等式求解。(a²+3)/a+b²/(b+1)=a+3/a+(b-1)+1/(b+1)=3/a+1/(b+1)。
∴原式=3/(1-b)+1/(1+b)=2(2+b)/(1-b²)=2/[(1=b²)/(2+b)]。
令f(b)=(1=b²)/(2+b)。∴f(b)=(2-b)-3/(2+b)=4-[(2+b)+3/(2+b)]≤4-2√3，当2+b=3/(2+b)时，“=”成立。此时，b=√3-2【a=3-√3】，满足题目条件。
∴其最小值为2/(4-2√3)=2+√3。