Question

怎么求三角形中边或角的取值范围？

Answer 1

三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

使用情景：三角形中

解题模板：

第一步 通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；

第二步 利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化；

第三步 得出结论.

【例1】 已知 是锐角三角形，若 ，则 的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A

【解析】

由题意得，在 中，由正弦定理可得 ，

又因为 ，所以 ，

又因为锐角三角形，所以

所以 ，

所以 ，所以 ，

所以 的取值范围是 ，故选A．

【总结】

①本题易错在求 的范围上，容易忽视“ 是锐角三角形”这个条件；

②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.解三角形问题的本质就是实现边角的转化，本题给的是角条件，求的是边之比的范围，思路很清晰，借助正弦定理把边转到角上，问题就转化为三角函数的最值问题，而定义域即角的范围就成了关键，锐角三角形就是保证三个角均为锐角，利用好内角和定理及 ，建立 的不等关系即可．

【例2】在 中，若 ，点 ， 分别是 ， 的中点，则 的取值范围为____．

【解析】

设 ， ， ，

， 分别是 ， 的中点，

，

，

，

所以有正弦定理得 ，

， ，

设 ，结合 ，

由 可得 .

,

故答案为 .

【总结】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题，属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将 表示为关于 的函数，再根据方法⑤解答的.