Question

1/根号下1-x^2的原函数是什么？

Answer 1

1/根号下1-x^2的原函数是ln|(x+√（x²+1)|+C

令x=tanu , u∈（－π／2,π／2)

则dx=sec²udu

原函数＝∫1/secu *sec²udu

＝∫secudu

＝∫1/cosu du

＝∫cosu/cos²u du

=1/2∫d(sinu)

=1/2ln+C

=ln|(1+sinu)/cosu|+C

=ln|(x+√（x²+1)|+C

原函数存在定理

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。