矩阵A>B,即A-B正定,是不是一定有行列式|A|>|B|?
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是.可以简单证明一下:
取可逆阵D,使得A=D^TD,D^T是D的转置.
则A--B=D^T(E--D^(--T)BD^(--1))D,
于是E--D^(--T)BD^(--1)是正定阵,
D^(--T)BD^(--1)的特征值都大于0小于1,
于是其行列式大于0小于1,即
det(B)/det(A)=det(B)*det(A^(--1))
取可逆阵D,使得A=D^TD,D^T是D的转置.
则A--B=D^T(E--D^(--T)BD^(--1))D,
于是E--D^(--T)BD^(--1)是正定阵,
D^(--T)BD^(--1)的特征值都大于0小于1,
于是其行列式大于0小于1,即
det(B)/det(A)=det(B)*det(A^(--1))
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