Question

数学并不是科学

Answer 1

严格意义上说，数学并不是科学，科学仅指经验科学，包括自然科学和社会科学。在美国的大部分大学里，数学和科学是两类课程。数学是科学可以使用的工具，但本身并不是科学。从不严格意义上讲，数学可以被称为分析科学，还包括逻辑、统计学等。

我们先看看维基百科的定义：什么是科学？什么是数学？

从上述定义我们可以得到：两者的共性是，都是知识。不同是，科学的知识是和具体的宇宙万物有关，是可实验的解释和预测；而数学的知识是关于抽象事物的，是在公理和定义的基础上通过演绎推演获得的。

关于数学研究的是否是纯粹的抽象事物，在哲学上也是存疑的，比如没有任何经验的情况下，我们能不能得出5+7=12（这个算式，是康德在他的《纯粹理性批判》里提到的）？罗素和怀特海曾经尝试仅用逻辑就推导出整个算术体系，出了10卷书，1800多页，最后还是差一点。

但就目的论而言，数学的确可以和具体应用脱开，而纯粹在抽象领域展开，不需要实验，仅仅靠思维，也就是逻辑推理来进行。历史上，很多数学成果，比如无理数、虚数，甚至非欧几何，都曾经长期闲置，大家不知道怎么用。

而科学则不同，科学自诞生之日起，就和应用相关，就依赖于实验或者具体的验证。虽然科学也会使用一些抽象的概念，比如万有引力、超引力、甚至夸克这种没人见过的概念，但它们总归最后要做出现实的预测，然后用经验来检验。

物理、化学、生物学、心理学、经济学，无不和具体事物挂钩。

数学用的是演绎法，科学研究更多的依靠归纳法，也会用到演绎法。

演绎法就是三段论，大前提和小前提正确，则结果永真。

数学的研究方法，就是先做好公理假设（不需证明），然后一步步按照演绎法推导，即可得出确定性的知识。

如果一个事情，可以用演绎法层层推导的话，那我们也可以层层回溯，那最初的一个假设，谁能保证其是对的呢？这就是亚里士多德提出的第一因的问题。

在数学上，这个问题通过公理来解决，所谓公理，就是不需要证明，不言自明的东西，比如两点之间直线最短。 也就是说，公理本身并不是逻辑推理的产物，它是逻辑推理的起点，我们只是假设它正确而已 ，事实上它不一定正确，比如我们就现在知道了，在大尺度的宇宙范围内 ，两点间直线并不是最短的，因为空间会扭曲 。

那么归纳法呢？最简单的例子就是天鹅，一只天鹅是白的，两只是，我们看到的成千上万只都是白的，那么我们就得出一个结论，所有天鹅都是白的。结果我们都知道了，后来人们在澳大利亚发现了黑天鹅。所以，归纳法是不靠谱的。

演绎法可以保证结论正确，但是它并不产生新的知识，它的正确仅仅建立在前提假设正确的基础上，而演绎法无法保证最初的那个假设是否正确。归纳法虽然不保证结果一定正确，但是它可以获得新的知识，因为你总是可以从观察中得到一个假设，比如天鹅是白的，而这件事，是无法通过演绎法推导出来的。

科学当然也会用到演绎法，不过是在次级推理的层面，回到最原始的知识，也就是第一因这个层面的话，数学和科学的分歧是巨大的，数学靠的是公理，科学靠的是归纳。

科学的研究方法，究其本质，是根据观察，提出一个假说，然后用实验、事实等来验证这个假说。假说的可信度是变化的，当支持这个假说的证据增多，我们就说其可信度增加，一旦出现反例，被证伪了，那我们就进行修正，或者提出新的假说。历史上，以太、燃素等概念的诞生和消亡，都是这么个过程。

当然，在最新的宇宙和微观物理学中，也有很多假设是超出了人类的经验的，比如宇宙开始于大爆炸。这种时候，怎么确保理论正确呢？要看该理论给出的预测，然后在现实中进行检验。大爆炸理论预测了宇宙红移，现实中也观测到了，所以验证成功，理论正确。

那么，有没有可能只用演绎法进行科学研究，那样不就是可以得到确定的知识了吗？

这个问题等同于，如果在自然界，在这些具体的事物和现象中，我们能找到确定正确的不需要证明的“公理”，那我们就可以利用演绎法进行推导，从而获得确定的知识了。

的确如此，人类历史上，很多研究就是这么做的。准确的来说，人们曾经认为 ，存在先验的知识，这些知识是先天的固化在人的大脑中的，而且是所有人都共有的，因而是确定的，从这个基础出来，就可以得到确定性的知识。

哲学的形而上学体系，几乎都是基于先验知识进行的推导，但现在已经没有人用了，只是作为历史来研究。

目前学术界普遍的看法是，我们有先验的能力，比如思考能力、学习语言的能力、对外部世界的感知能力，但是没有先验的知识。如果一个人从来没有看到过红色，那么他就不会知道什么是红色。如果一个人从来没有接触过人类的语言，那么他就不会学会说话和写作。

人类所有的知识，究其源泉，都来自后天的观察和感知，因而科学的第一因，只能来自归纳。

这在物理、化学上，都很容易理解，但是在有些社会科学，比如经济学上，还是有些含糊的。由于经济学研究的是具体的人类社会，因而非常难以做实验来验证，所以很多经济学研究的方法，其实是更接近演绎法的。奥地利学派更是把这种方法推到了极致，他们认为正由于无法验证，所以也只能依靠演绎法，逻辑起点必须是先验的知识，也就是“人的行动都是有目的的”，基于此，就可以层层推导出确定性的知识，也即整个经济学大厦。

先验知识目前在主流科学界并不被认可，在非科学领域可以继续研究。

其实，就算有了先验知识，我们仍然无法像数学一样研究科学，我们的逻辑推导能力有边界，至少还有三个障碍：1）无法穷尽所有前提条件；2）涌现；3）计算不可约性。

1、前提条件

数学的前提条件是有限的，比如欧几里德几何学只有五个公理，因为数学研究的是抽象的东西，因而随便多少假设都行，无所谓，只要其过程正确即可。

但是科学不行，科学研究的是具体事物。比如，你研究一下地球和太阳之间的运动关系 ，明天会不会下雨，减税后经济会不会反弹，这些事情的决定因素是很多的，理论上讲是无穷多的。我们不可能穷尽所有的前提条件来研究任何事物，甚至条件太多都不行，这不具备可操作性，于是我们发明了理论，尤其是科学理论，用一种简化的方法描述了一个规律。

那么问题来了，既然你做了简化，只是使用了有限的前提条件，就算在这个有限的前提条件下，该知识是正确的，一旦应用到具体的事物中，碰到了前提条件不符，或者有更多的没有被理论涵盖的前提条件时，如何保证结论必然正确呢？不能。

这种情况在天气预报以及整个社会科学领域，都普遍存在，不管再怎么研究理论，提出再多的数学化的模型，最后的预测结果仍然精度不高。

经济学搞了几百年，却无法准确预测经济危机，连解释都无法达成一致，就是因为人类社会太复杂了，影响因素太多，任何理论都是在简化的前提下做研究，因而都有不够精确。

2、涌现

简单的说，就是整体并非等于个体的加总。

当我们按照个体的规律，用逻辑推演层层推演，却不必然能得到整体的结果，这里存在不可预测的“逻辑飞跃”。

这个现象在整个自然界都普遍存在，从微观到宏观，从物质到人类。

比如，我们无法通过原子的运动规律，简单加总得到分子的运动规律。量子力学里的不确定性，没法推导出宏观世界的确定性。我们就算对人体的每个分子结构都了如指掌，也没法推导出我们具体的思考和行动。每个人都是理性的，但是群体却会体现出非理性的疯狂。

也正因为如此，我们才会在有了物理学的基础上，又需要化学，有了化学，还需要生物学，有了脑科学，还需要心理学和社会学 ，有了微观经济学还需要宏观经济学。用霍金的话说，我们总是需要一些“有效模型”，而不可能把万事万物仅仅从物理学推导出来。

这些逻辑飞跃，或者有效模型，无法靠数学或者逻辑得到，只能依据观察和归纳提出假说来解决。

3、计算不可约化

上图是一个叫“元胞自动机”的电脑游戏生成的，其规则有八条，见图的下方。我们如果问该程序的第十万行上是什么图形？能根据那八个规则作出快速回答吗？不能，在这个游戏和这种组合的规则下，你只能把程序从头到尾走一遍，走到第十万行才能知道。

这就是所谓的计算不可约性，Computational Irreducible，由史蒂芬·沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）提出。它的核心思想是，真正复杂的系统是没法简化的，即便你能找到其基本的数学架构，要预测未来某个运算步骤时的结果，你没法简化，只能老老实实的算一遍。

换言之，复杂系统是没法预测的。

早在100多年前，数学家彭加莱就论述过著名的“三体问题”，三个相互作用的物体，即便知道其初始条件，且相互之间只有万有引力的作用，对于其未来的运动轨迹，是没法求得精确解（解析解）的。

数学来源于演绎法，可以得到确定性的知识，但是是在大家都承认其公理的前提下。科学的知识来源于归纳总结，是一种假说，并非百分之百确定，其可信度受证实或者证伪证据的影响。

由于涌现、前提条件无法穷尽、计算不可约等原因，我们并不可能通过演绎法，层层推理获得所有的新知识，自然界总是存在逻辑上的飞跃，从而让新知识超出了人类的逻辑推理能力。