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xarcsinxdx的不定积分是什么?
xarcsinxdx的不定积分是:(x²arcsinx)/2 - (1/4)arcsinx - (x/4)√(1-x²) + C。推导过程如下:
∫ xarcsinx dx
= ∫ arcsinx d(x²/2)
= (x²/2)(arcsinx) - (1/2)∫ x²*(arcsinx)' dx
= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ x²/√(1-x²) dx
令x=siny,dx=cosydy
= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ sin²y/cosy * cosydy
= (x²arcsinx)/2 - (1/4)∫ (1-cos2y) dy
= (x²arcsinx)/2 - (1/4)(y-1/2*sin2y) + C
= (x²arcsinx)/2 - (1/4)arcsinx - (x/4)√(1-x²) + C
不定积分的公式:
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C